Question

如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q為AD的中點(diǎn)，M是棱PC上的點(diǎn)，PA＝PD＝2，BC＝AD＝1，CD＝.

(1)若點(diǎn)M是棱PC的中點(diǎn)，求證：PA∥平面BMQ；

(2)若二面角M—BQ—C為30°，設(shè)PM＝tMC，試確定t的值．

 

Answer 1

（1）見解析 （2）t＝3.

【解析】(1)證明　連接AC，交BQ于N，連接MN.

∵BC∥AD且BC＝AD，

即BC綊AQ.

∴四邊形BCQA為平行四邊形，且N為AC中點(diǎn)，

又∵點(diǎn)M是棱PC的中點(diǎn)，

∴MN∥PA.

∵M(jìn)N?平面BMQ，PA?平面BMQ，

∴PA∥平面BMQ.

(2)解　∵PA＝PD，Q為AD的中點(diǎn)，

∴PQ⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD，

且平面PAD∩平面ABCD＝AD，

∴PQ⊥平面ABCD.

如圖，以Q為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系．

則平面BQC的法向量為n＝(0,0,1)；

Q(0,0,0)，P(0,0，)，B(0，，0)，C(－1，，0)．

設(shè)M(x，y，z)，則＝(x，y，z－)，

＝(－1－x，－y，－z)，

∵＝t，

∴∴

在平面MBQ中，＝(0，，0)，

＝，

∴平面MBQ的法向量為m＝(，0，t)．

∵二面角M—BQ—C為30°，

cos 30°＝＝＝，∴t＝3.