Question

【題目】已知數(shù)列是無窮數(shù)列，其前n項，，中的最大項記為，第n項之后的所有項，，，中的最小項記為數(shù)列滿足．

（1）若，求的通項公式；

（2）若，，求數(shù)列的通項公式

（3）判斷命題“是常數(shù)列的充分不必要條件是為遞增的等差數(shù)列”的真假，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析

【解析】

（1）根據(jù)通項的二次函數(shù)性，可知當(dāng)時，單調(diào)遞增且，從而得到，整理可得結(jié)果；

（2）由可求得，繼續(xù)代入，求得，以此類推可求得結(jié)果；

（3）若是遞增的等差數(shù)列，可知，充分性得證；若是常數(shù)列，存在為常數(shù)列的情況，必要性不成立，從而可知原命題為真.

（1）由，可得：，當(dāng)時單調(diào)遞增

則

（2），，可得： ，即，

，，

（3）命題“是常數(shù)列的充分不必要條件是為遞增的等差數(shù)列”為真命題

理由如下：

若是遞增的等差數(shù)列，設(shè)公差為

則，

即有是常數(shù)列 充分條件成立

若是常數(shù)列，可設(shè)為常數(shù)

若可得：，即有為常數(shù)列，是不單調(diào)數(shù)列 必要條件不成立

綜上可得：是常數(shù)列的充分不必要條件是為遞增的等差數(shù)列