【題目】如圖,直三棱柱中,底面為等腰直角三角形,,是側(cè)棱上的點.

1)若,證明:的中點;

2)若,求二面角的余弦值.

【答案】1)證明見解析;(2.

【解析】

1)利用勾股定理得出,再由可得知為等邊三角形,利用勾股定理得出,進(jìn)而可證得結(jié)論成立;

2)以點為坐標(biāo)原點,、、所在直線分別為、軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),利用空間向量法可求得二面角的余弦值.

1)由直三棱柱平面,

、平面,,

為等腰直角三角形,,,

由勾股定理得

,是等邊三角形,則,

由勾股定理得的中點;

2)易知、、兩兩垂直,以點為坐標(biāo)原點,所在直線分別為、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

設(shè),則、、,,

設(shè)平面的法向量為,由,得,

,得,,,

又平面的法向量為,,

由圖形可知,二面角為銳角,所以,二面角的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,由經(jīng)過伸縮變換得到曲線,以原點為極點,軸非負(fù)半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為

(1)求曲線的極坐標(biāo)方程以及曲線的直角坐標(biāo)方程;

(2)若直線的極坐標(biāo)方程為與曲線、曲線在第一象限交于、,且,點的極坐標(biāo)為,求的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】焦點在x軸上的橢圓C經(jīng)過點,橢圓C的離心率為,是橢圓的左、右焦點,P為橢圓上任意點.

1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

2)若點M的中點(O為坐標(biāo)原點),過M且平行于OP的直線l交橢圓CA,B兩點,是否存在實數(shù),使得;若存在,請求出的值,若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓 的離心率為,過橢圓的焦點且與長軸垂直的弦長為1

1)求橢圓C的方程;

2)設(shè)點M為橢圓上第一象限內(nèi)一動點,A,B分別為橢圓的左頂點和下頂點,直線MBx軸交于點C,直線MAy軸交于點D,求證:四邊形ABCD的面積為定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】阿基米德是古希臘偉大的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家,對幾何學(xué)、力學(xué)等學(xué)科作出過卓越貢獻(xiàn).為調(diào)查中學(xué)生對這一偉大科學(xué)家的了解程度,某調(diào)查小組隨機抽取了某市的100名高中生,請他們列舉阿基米德的成就,把能列舉阿基米德成就不少于3項的稱為“比較了解”,少于三項的稱為“不太了解”.他們的調(diào)查結(jié)果如下:

0項

1項

2項

3項

4項

5項

5項以上

理科生(人)

1

10

17

14

14

10

4

文科生(人)

0

8

10

6

3

2

1

(1)完成如下列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為,了解阿基米德與選擇文理科有關(guān)?

比較了解

不太了解

合計

理科生

文科生

合計

(2)在抽取的100名高中生中,按照文理科采用分層抽樣的方法抽取10人的樣本.

(i)求抽取的文科生和理科生的人數(shù);

(ii)從10人的樣本中隨機抽取3人,用表示這3人中文科生的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考數(shù)據(jù):

0.100

0.050

0.010

0.001

2.706

3.841

6.635

10.828

,.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓的中心在原點,焦點在x軸上,長軸的兩個端點分別為、.短軸的兩個端點分別為,.菱形的面積為,離心率.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)設(shè),經(jīng)過點M作斜率不為0的直線交橢圓C于A、B兩點,若,求直線的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

1)討論函數(shù)的單調(diào)性;

2)若存在直線,使得對任意的,,對任意的,,求的取值范圍.

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【題目】如圖所示,多面體是由底面為的直四棱柱被截面所截而得到的,該直四棱柱的底面為菱形,其中,

(1)求的長;

(2)求平面與底面所成銳二面角的余弦值.

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【題目】已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,直線l:x+2y=4與橢圓有且只有一個交點T.

(I)求橢圓C的方程和點T的坐標(biāo);

)O為坐標(biāo)原點,與OT平行的直線l′與橢圓C交于不同的兩點A,B,直線l′與直線l交于點P,試判斷是否為定值,若是請求出定值,若不是請說明理由.

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