Question

已知z=2x+y，x、y滿足

y≥x x+y≥2 x≥m

且z的最大值是最小值的4倍，則m的值是

 

．

Answer 1

考點：簡單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合確定z的最大值和最小值即可．

解答： 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分），
由

y=x x+y=2

．解得

x=1 y=1

，即A（1，1），
則m＜1，
由z=2x+y得y=-2x+z，
平移直線y=-2x+z，
由圖象可知當(dāng)直線y=-2x+z經(jīng)過點A時，直線y=-2x+z的截距最大，
此時z最大．
將A的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)z=2x+y，
得z=2×1+1=3．即z=2x+y的最大值為3．
當(dāng)直線y=-2x+z經(jīng)過點D時，直線y=-2x+z的截距最小，
此時z最小．
由

x=m y=x

，即D（m，m），
將D的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)z=2x+y，
得z=2m+m=3m．即z=2x+y的最小值為3m，
∵z的最大值是最小值的4倍，
∴12m=3，
解得m=

1

4

．
故答案為：

1

4

點評：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問題的基本方法．