Question

如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點E是棱D₁D的中點，點F在棱B₁B上，且滿足B₁F=2FB．
（1）求證：EF⊥A₁C₁；
（2）在棱C₁C上確定一點G，使A，E，G，F(xiàn)四點共面，并求此時C₁G的長；
（3）求平面AEF與平面ABCD所成二面角的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,空間中直線與平面之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）連結(jié)B₁D₁，BD，由已知條件推導出A₁C₁⊥DD₁，從而得到A₁C₁⊥平面BB₁D₁D．由此能證明EF⊥A₁C₁．
（2）以點D為坐標原點，以DA，DC，DD₁所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出當C₁G=

1

6

a時，A，E，G，F(xiàn)四點共面．
（3）利用已知條件求出平面AEF的法向量和平面ABCD的一個法向量，由此能求出平面AEF與平面PQ所成二面角的余弦值．

解答： （1）證明：連結(jié)B₁D₁，BD，∵四邊形A₁B₁C₁D₁是正方形，∴B₁D₁⊥A₁C₁．
在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵DD₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，A₁C₁?平面A₁B₁C₁D₁，∴A₁C₁⊥DD₁．
∵B₁D₁∩DD₁=D₁，B₁D₁，DD₁?平面BB₁D₁D，∴A₁C₁⊥平面BB₁D₁D．
∵EF?平面BB₁D₁D，∴EF⊥A₁C₁．
（2）解：以點D為坐標原點，
以DA，DC，DD₁所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，
建立如圖的空間直角坐標系，
則A（a，0，0），A₁（a，0，a），C₁（0，a，a），E(0，0，

1

2

a)，F(a，a，

1

3

a)，
∴

A1C1

=(-a，a，0)，

EF

=(a，a，-

1

6

a)．
設(shè)G（0，a，h），
∵平面ADD₁A₁∥平面BCC₁B₁，平面ADD₁A₁∩平面AEGF=AE，
平面BCC₁B₁∩平面AEGF=FG，
∴存在實數(shù)λ，使得

FG

=λ

AE

．
∵

AE

=(-a，0，

1

2

a)，

FG

=(-a，0，h-

1

3

a)，
∴(-a，0，h-

1

3

a)=λ(-a，0，

1

2

a)．
∴λ=1，h=

5

6

a．∴C₁G=CC1-CG=a-

5

6

a=

1

6

a．
∴當C₁G=

1

6

a時，A，E，G，F(xiàn)四點共面．
（3）解：由（1）知

AE

=(-a，0，

1

2

a)，

AF

=(0，a，

1

3

a)．
設(shè)

n

=（x，y，z）是平面AEF的法向量，
則

n • AE =0 n • AF =0

，即

-ax+ 1 2 az=0 ay+ 1 3 az=0.

取z=6，則x=3，y=-2．
所以

n

=（3，-2，6）是平面AEF的一個法向量．
而

DD1

=(0，0，a)是平面ABCD的一個法向量，
設(shè)平面AEF與平面ABCD所成的二面角為θ，
則cosθ=

|0×3+0×(-2)+a×6|

32+(-2)2+62 ×|a|

=

6

7

．
故平面AEF與平面PQ所成二面角的余弦值為

6

7

．

點評：本小題主要考查空間線面關(guān)系、四點共面、二面角的平面角、空間向量及坐標運算等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力