Question

【題目】已知函數(shù).

（1）設(shè)，（其中是的導(dǎo)數(shù)），求的最小值；

（2）設(shè)，若有零點(diǎn)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】

（1）求導(dǎo)數(shù)，得，對(duì)再求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)單調(diào)性得最小值；

（2）由（1）知，因此在時(shí)，無(wú)零點(diǎn)，在時(shí)把函數(shù)整理為的函數(shù)：，因，，故是的減函數(shù)，再分類(lèi)討論，，

，令，利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)說(shuō)明函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，有一個(gè)零點(diǎn)，時(shí)，用零點(diǎn)存在定理說(shuō)明函數(shù)有零點(diǎn)．為此只要證明，即可．

解：（1），，定義域?yàn)?/span>

，時(shí)，，單減；時(shí)，，單增

．

（2）①故當(dāng)時(shí)，由（1）知，故單增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，故；而，故時(shí)，，此時(shí)無(wú)解；

，因，，故是的減函數(shù)

②當(dāng)時(shí)，，

令，顯然，，

，函數(shù)單調(diào)遞增

又，故時(shí)，，單減；時(shí)，，單增，故，，此時(shí)無(wú)解；

③當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，即有零點(diǎn)；

④當(dāng)時(shí)，，令有，下證存在使得，

，令，

令，則

，而，只需

記，單增，，故單增

，故存在，使得，由前，故在有解.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，有零點(diǎn)