Question

已知實(shí)數(shù)a＞0 且函數(shù)f（x）=|x-2a|-|x+a|的值域?yàn)閧y|-3a²≤y≤3a²
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）若至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)m使得f（m）-f（1-m）≤n 成立，求實(shí)數(shù)n的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用絕對(duì)值不等式得到函數(shù)的最大值和最小值；
（Ⅱ）利用函數(shù)的值域研究能成立的不等式問題，得到本題的結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）∵|a-b|≥|a|-|b|，
∴|x-2a|-|x+a|=|2a-x|-|-x-a|≤|（2a-x）-（-x-a）|=|3a|．
∵實(shí)數(shù)a＞0，
∴-3a≤|x-2a|-|x+a|≤3a．
∵函數(shù)f（x）=|x-2a|-|x+a|的值域?yàn)閧y|-3a²≤y≤3a²}，
∴

3a=3a2 -3a=-3a2

，
∴a=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=1，
∴f（x）=|x-2|-|x+1|，
∴h（m）=f（m）-f（1-m）=|m-2|-|m+1|-|（1-m）-1|+|（1-m）+1|
=2（|m-2|-|m+1|）≥-2|（m-2）-（m+1）|=-6．
∵至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)m使得f（m）-f（1-m）≤n 成立，
∴n≥-6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是絕對(duì)值不等式，解題的一個(gè)難點(diǎn)是對(duì)能成立的不等式的正確理解．本題有一定的思維難度，屬于中檔題．