Question

函數(shù)f（x）=sinx+cosx，在各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}中對任意的n∈N^*都有f（a_n+x）=f（a_n-x）成立，則數(shù)列{a_n}的通項公式可以為（寫一個你認(rèn)為正確的）

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列的函數(shù)特性

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：f（x）=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，其對稱軸為：x+

π

4

=nπ-

π

2

，由各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}中對任意的n∈N^*都有f（a_n+x）=f（a_n-x）成立，可知：x=a_n為其對稱軸．

解答： 解：∵f（x）=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，
其對稱軸為：x+

π

4

=nπ-

π

2

，解得x=(n-

3

4

)π（n∈N^*）．
由各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}中對任意的n∈N^*都有f（a_n+x）=f（a_n-x）成立，
∴a_n=(n-

3

4

)π（n∈N^*）．
故答案為：an=(n-

3

4

)π，（N^*）．

點評：本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、數(shù)列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．