Question

曲線C上任一點(diǎn)到點(diǎn)F₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0）的距離之和為12．曲線C的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P在曲線C上，且PA⊥PF₂．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（Ⅲ）在y軸上求一點(diǎn)M，使M到曲線C上點(diǎn)的距離最大值為．

Answer 1

解：（1）設(shè)G是曲線C上任意一點(diǎn)，依題意，|GE|+|GF|=12．
所以曲線C是以E、F為焦點(diǎn)的橢圓，且橢圓的長(zhǎng)半袖a=6，半焦距c=4，
所以短半軸 ，
所以所求的橢圓方程為 ；
（2）由已知A（-6，0），F(xiàn)₂（4，0），設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y）
則
由已知得
則 2x²+9x-18=0，解之得，
由于A，P兩點(diǎn)不重合，所以只能取 ，于是，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ；
（3）設(shè)圓M的圓心為（0，n），半徑為，其方程為x²+（y-n）²=63，當(dāng)此圓與橢圓相切時(shí)，使M到曲線C上點(diǎn)的距離最大值為．
由消去x得：
則56y²+40ny+20n²-93=0．
△=0?n=6或8．
所求的M的坐標(biāo)為（0，6）或（0，8）．
分析：（1）設(shè)G是曲線C上任意一點(diǎn)，依題意，|GE|+|GF|=12．a(chǎn)=6，c=4，，由此可知所求的橢圓方程．
（2）由已知A（-6，0），F(xiàn)₂（4，0），設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則 由已知得 則 ，由此可推導(dǎo)出點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ；
（3）設(shè)圓M的圓心為（0，n），半徑為，其方程為x²+（y-n）²=63，當(dāng)此圓與橢圓相切時(shí)，使M到曲線C上點(diǎn)的距離最大值為．由此可推導(dǎo)出所求的M的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．解答的關(guān)鍵是利用方程思想設(shè)而不求進(jìn)行解決直線和圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題．