Question

【題目】已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且有a1=1，Sn+1=an+1（n∈N*）．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an；
（2）若bn= ，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn；
（3）設(shè)ck= ，{ck}的前n項(xiàng)和為An ， 是否存在最小正整數(shù)m，使得不等式An＜m對任意正整數(shù)n恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)n=1時(shí)，a2=S1+1=a1+1=2；

當(dāng)n≥2時(shí)，Sn+1=an+1，Sn﹣1+1=an，相減得an+1=2an，

又a2=2a1，

{an}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，

∴

（2）解：由（1）知 ，

∴ ，

∴ ，

，

兩式相減得 = ，

∴

（3）解：CK= =

= ．

∴ = = ．

若不等式∴ ＜m對任意正整數(shù)n恒成立，則m≥2，

∴存在最小正整數(shù)m=2，使不等式∴ ＜m對任意正整數(shù)n恒成立

【解析】（1）在數(shù)列遞推式中取n=n﹣1得另一遞推式，作差后即可證得數(shù)列為等比數(shù)列，代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案；（2）把數(shù)列{an}的通項(xiàng)代入bn= ，然后利用錯位相減法求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn；（3）把Sk ， Tk代入ck= ，整理后利用裂項(xiàng)相消法化簡，放縮后可證得數(shù)列不等式．
【考點(diǎn)精析】掌握數(shù)列的前n項(xiàng)和是解答本題的根本，需要知道數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系．