Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+1（a，b為實(shí)數(shù)，a≠0，x∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)（﹣1，0），且方程f（x）=0有且只有一個根，求f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，當(dāng)x∈[﹣2，2]時，g（x）=f（x）﹣kx是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（Ⅲ）若 當(dāng)mn＜0，m+n＞0，a＞0，且函數(shù)f（x）為偶函數(shù)時，試判斷F（m）+F（n）能否大于0？

Answer 1

解：（Ⅰ）因?yàn)閒（﹣1）=0，所以a﹣b+1=0．
因?yàn)榉匠蘤（x）=0有且只有一個根，所以△=b²﹣4a=0．
所以b²﹣4（b﹣1）=0．即b=2，a=1．
所以f（x）=（x+1）²．
（Ⅱ）因?yàn)間（x）=f（x）﹣kx=x²+2x+1﹣kx=x²﹣（k﹣2）x+1 = ．
所以當(dāng) 或 時，
即k≥6或k≤﹣2時，g（x）是單調(diào)函數(shù)．
（Ⅲ）f（x）為偶函數(shù)，所以b=0．所以f（x）=ax²+1．
所以 
因?yàn)閙n＜0，不妨設(shè)m＞0，則n＜0．
又因?yàn)閙+n＞0，所以m＞﹣n＞0．所以|m|＞|﹣n|．
此時F（m）+F（n）=f（m）﹣f（n）=am²+1﹣an²﹣1=a（m²﹣n²）＞0．
所以F（m）+F（n）＞0．