【題目】幾位大學生響應國家的創(chuàng)業(yè)號召,開發(fā)了一款應用軟件.為激發(fā)大家學習數(shù)學的興趣,他們推出了“解數(shù)學題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數(shù)學問題的答案:已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一項是20 , 接下來的兩項是20 , 21 , 再接下來的三項是20 , 21 , 22 , 依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N:N>100且該數(shù)列的前N項和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是(  )
A.440
B.330
C.220
D.110

【答案】A
【解析】解:設該數(shù)列為{an},設bn= +…+ =2n﹣1,(n∈N+),則 = ai ,
由題意可設數(shù)列{an}的前N項和為SN , 數(shù)列{bn}的前n項和為Tn , 則Tn=21﹣1+22﹣1+…+2n﹣1=2n﹣n﹣2,
可知當N為 時(n∈N+),數(shù)列{an}的前N項和為數(shù)列{bn}的前n項和,即為2n﹣n﹣2,
容易得到N>100時,n≥14,
A項,由 =435,440=435+5,可知S440=T29+b5=230﹣29﹣2+25﹣1=230 , 故A項符合題意.
B項,仿上可知 =325,可知S330=T25+b5=226﹣25﹣2+25﹣1=226+4,顯然不為2的整數(shù)冪,故B項不符合題意.
C項,仿上可知 =210,可知S220=T20+b10=221﹣20﹣2+210﹣1=221+210﹣23,顯然不為2的整數(shù)冪,故C項不符合題意.
D項,仿上可知 =105,可知S110=T14+b5=215﹣14﹣2+25﹣1=215+15,顯然不為2的整數(shù)冪,故D項不符合題意.
故選A.
方法二:由題意可知: , ,… ,
根據(jù)等比數(shù)列前n項和公式,求得每項和分別為:21﹣1,22﹣1,23﹣1,…,2n﹣1,
每項含有的項數(shù)為:1,2,3,…,n,
總共的項數(shù)為N=1+2+3+…+n= ,
所有項數(shù)的和為Sn:21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1=(21+22+23+…+2n)﹣n= ﹣n=2n+1﹣2﹣n,
由題意可知:2n+1為2的整數(shù)冪.只需將﹣2﹣n消去即可,
則①1+2+(﹣2﹣n)=0,解得:n=1,總共有 +2=2,不滿足N>100,
②1+2+4+(﹣2﹣n)=0,解得:n=5,總共有 +3=17,不滿足N>100,
③1+2+4+8+(﹣2﹣n)=0,解得:n=13,總共有 +4=95,不滿足N>100,
④1+2+4+8+16(﹣2﹣n)=0,解得:n=29,總共有 +5=440,滿足N>100,
∴該款軟件的激活碼440.
故選A.
【考點精析】通過靈活運用數(shù)列的前n項和,掌握數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關系即可以解答此題.

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A.
=1
B.
=1
C.
=1
D.
=1

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