【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0)的離心率為 ,以原點O為圓心,橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x﹣y+ =0相切.
(Ⅰ)求橢圓C的標準方程;
(Ⅱ)若直線L:y=kx+m與橢圓C相交于A、B兩點,且kOAkOB=﹣ ,求證:△AOB的面積為定值.

【答案】(Ⅰ)解:由題意得 a2=4,b2=3.
∴橢圓的方程為: ;
(Ⅱ)證明:設(shè)A(x1 , y1),B(x2 , y2),
則A,B的坐標滿足 ,消去y化簡得:(3+4k2)x2+8kmx+4m2﹣12=0.

由△>0,得4k2﹣m2+3>0.
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=
= =
=
,即
,即2m2﹣4k2=3.
=
=
又O點到直線y=kx+m的距離d=
=
= = 為定值
【解析】(Ⅰ)由橢圓的離心率等于 ,原點O到直線 的距離等于b及隱含條件c2=a2﹣b2聯(lián)立方程組求解a2 , b2的值,則橢圓C的標準方程可求;
(Ⅱ)聯(lián)立直線方程和橢圓方程,消去y后利用根與系數(shù)關(guān)系得到A,B兩點的橫縱坐標的和與積,由弦長公式求得|AB|,由點到直線的距離公式求得O到AB的距離,代入三角形的面積公式證得答案.

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B.
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D.

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