分析 (1)求出拋物線的焦點坐標,利用已知條件列出方程組,求出橢圓的幾何量即可得到橢圓方程.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),AB=CD,設(shè)直線l的斜率為k,則l的方程為y=k(x-1),聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=k({x-1})\\{y^2}=4x\end{array}\right.$,利用韋達定理求出AB,由$\left\{\begin{array}{l}y=k({x-1})\\ \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1\end{array}\right.$求出CD,然后求解直線的斜率.
解答 (本題滿分12分)
解:(1)由${C_1}:{y^2}=4x$知其焦點F的坐標為(1,0),
因為F也是橢圓C2的一個焦點,所以a2-b2①;
又C1與C2的公共弦長為$2\sqrt{6},{C_1}$與C2都關(guān)于x軸對稱,
且C1的方程為${C_1}:{y^2}=4x$,由此易知C1與C2的公共點的坐標為$({\frac{3}{2},±\sqrt{6}})$,
∴$\frac{9}{{4{a^2}}}+\frac{6}{b^2}=1$②,
聯(lián)立①②得a2=9,b2=8,
故C2的方程為${C_2}:\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1$.
(2)如圖,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),
因$\overline{AC}$與$\overline{BD}$同向,且|AC|=|BD|知AB=CD,
設(shè)直線l的斜率為k,則l的方程為y=k(x-1),
由$\left\{\begin{array}{l}y=k({x-1})\\{y^2}=4x\end{array}\right.$得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,由x1,x2是這個方程的兩根,
${x_1}+{x_2}=\frac{{2{k^2}+4}}{k^2}$,從而$AB=\frac{{2{k^2}+4}}{k^2}+2$,
由$\left\{\begin{array}{l}y=k({x-1})\\ \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1\end{array}\right.$得(8+9k2)x2-18k2x+9k2-72=0,而x3,x4是這個方程的兩根,
${x_3}+{x_4}=\frac{{18{k^2}}}{{8+9{k^2}}}$,從而$CD=6-\frac{1}{3}\frac{{18{k^2}}}{{8+9{k^2}}}=\frac{{48({1+{k^2}})}}{{8+9{k^2}}}$,
由AB=CD得:3k2=8,解得$k=±\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$,即直線l的斜率為$±\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$.
點評 本題考查拋物線與橢圓的位置關(guān)系,直線與橢圓以及拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | B. | C. | D. |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{5}{2}+\frac{i}{2}$ | B. | $\frac{5}{2}-\frac{i}{2}$ | C. | 5+i | D. | 5-i |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 1+$\sqrt{3}$ | B. | $\sqrt{3}$-1 | C. | 4-2$\sqrt{3}$ | D. | 3-2$\sqrt{2}$ |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 2 | B. | 1 | C. | -1 | D. | -2 |
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