【題目】某商店銷售10臺A型和20臺B型電腦的利潤為4000元,銷售20臺A型和10臺B型電腦的利潤為3500元.

(1)求每臺A型電腦和B型電腦的銷售利潤;

(2)該商店計劃一次購進(jìn)兩種型號的電腦共100臺,其中B型電腦的進(jìn)貨量不超過A型電腦的2倍。設(shè)購進(jìn)A掀電腦x臺,這100臺電腦的銷售總利潤為y元。

①求yx的關(guān)系式;

②該商店購進(jìn)A型、B型各多少臺,才能使銷售利潤最大?

(3)實際進(jìn)貨時,廠家對A型電腦出廠價下調(diào)m(0<m<100)元,且限定商店最多購進(jìn)A型電腦70臺。若商店保持兩種電腦的售價不變,請你以上信息及(2)中的條件,設(shè)計出使這100臺電腦銷售總利潤最大的進(jìn)貨方案。

【答案】(1)每臺A型電腦的銷售利潤為100元,每臺B型電腦的銷售利潤為150元;(2)商店購進(jìn)A型電腦34臺,B型電腦66臺,才能使銷售總利潤最大;(3)即商店購進(jìn)70臺A型電腦和30臺B型電腦才能獲得最大利潤.

【解析】試題分析:(1)依據(jù)題設(shè)條件每臺A型電腦的銷售利潤為a元,每臺B型電腦的銷售利潤為b元建立方程組進(jìn)行求解;(2)①根據(jù)題意建立目標(biāo)函數(shù)y=100x+150(100-x);②根據(jù)題意建立不等式100-x≤2x進(jìn)行分析求解;(3)據(jù)題意建立目標(biāo)函數(shù)y=(100+mx+150(100-x),然后運用分類整合思想對參數(shù)進(jìn)行分類討論求其最大值。

解:(1)設(shè)每臺A型電腦的銷售利潤為a元,每臺B型電腦的銷售利潤為b元,

則有 解得

即每臺A型電腦的銷售利潤為100元,每臺B型電腦的銷售利潤為150元.

(2)①根據(jù)題意得y=100x+150(100-x),即y=-50x+15000

②根據(jù)題意得100-x≤2x,解得x≥33,

y=-50x+15000,-50<0,∴yx的增大而減小.

x為正整數(shù),∴當(dāng)x=34最小時,y取最大值,此時100-x=66.

即商店購進(jìn)A型電腦34臺,B型電腦66臺,才能使銷售總利潤最大

(3)根據(jù)題意得y=(100+mx+150(100-x),即y=(m-50)x+15000.

33x≤70.

①當(dāng)0<m<50時,m-50<0,yx的增大而減。

∴當(dāng)x =34時,y取得最大值.

即商店購進(jìn)34臺A型電腦和66臺B型電腦才能獲得最大利潤;

②當(dāng)m=50時,m-50=0,y=15000.

即商店購進(jìn)A型電腦數(shù)最滿足33x≤70的整數(shù)時,均獲得最大利潤;

③當(dāng)50<m<100時,m-50>0,yx的增大而增大.

x=70時,y取得最大值.

即商店購進(jìn)70臺A型電腦和30臺B型電腦才能獲得最大利潤.

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