Question

設函數(shù)f（x），若存在常數(shù)m＞0，使|f（x）|≤m|x|對一切定義域內(nèi)x均成立，則稱f（x）為F函數(shù)．給出下列函數(shù)：
①f（x）=0；②f（x）=2x；③f（x）=x²-3x+1，x≥2； ④f（x）=

x

x2+x+1

；
你認為上述四個函數(shù)中，哪幾個是F函數(shù)，請說明理由．

Answer 1

考點：函數(shù)的概念及其構(gòu)成要素

專題：新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：根據(jù)F函數(shù)的定義，分別判斷是否存在常數(shù)m，即可得到結(jié)論．

解答： 解：①若f（x）=0；則|f（x）|=0，
∴當m＞0時，恒有|f（x）|≤m|x|成立，∴滿足條件．
②f（x）=2x；|f（x）|=2|x|≤2|x|，
當m=2時，|f（x）|≤m|x|成立，∴滿足條件．
③f（x）=x²-3x+1，x≥2；則

|f(x)|

|x|

=|

x2-3x+1

x

|=|x+

1

x

-3|，
∵x≥2，函數(shù)y=x+

1

x

為增函數(shù)，
∴y=x+

1

x

≥2+

1

2

=2

1

2

，
則不存在常數(shù)m＞0，使|f（x）|≤m|x|對一切定義域內(nèi)x均成立，
∴不滿足條件．
 ④f（x）=

x

x2+x+1

；則

|f(x)|

|x|

=

1

x2+x+

=

1

(x+ 1 2 )2+ 3 4

≤

4

3

，
∴當m=

4

3

時，|f（x）|≤m|x|對一切定義域內(nèi)x均成立，∴滿足條件．
故只有①②④滿足條件．

點評：本題主要考查與函數(shù)有個的新定義的應用，正確理解題意是解決本題的根據(jù)，綜合性較強，難度比較大．