Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，且方程x²-a_nx-a_n=0有一根為S_n-1（n∈N^*）．
（1）求證：數(shù)列{

1

Sn-1

}為等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（1）把a(bǔ)_n=S_n-S_n-1，代入x²-a_nx-a_n=0中化簡(jiǎn)整理得S_n=

1

2-Sn-1

，等式兩邊同時(shí)減1，整理后同時(shí)取倒數(shù)，整理得

1

Sn-1

-

1

Sn-1-1

=-1，進(jìn)而可證明數(shù)列{

1

Sn-1

}為等差數(shù)列．
（2）由（1）可求得數(shù)列{S_n}的通項(xiàng)公式，再根據(jù)a_n=S_n-S_n-1求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答：解：（1）（S_n-1）²-a_n（S_n-1）-a_n=0…（1）；
代入n=1，得S₁=a₁=

1

2

…（2）；
當(dāng)n＞1時(shí)，
由a_n=S_n-S_n-1，代入式（1）得
S_n=

1

2-Sn-1

S_n-1=

1

2-Sn-1

-1=

Sn-1-1

2-Sn-1

∴

1

Sn-1

-

1

Sn-1-1

=-1
故數(shù)列{

1

Sn-1

}為等差數(shù)列；
（2）再由（1）知數(shù)列{

1

Sn-1

}是為以-2為首項(xiàng)，-1為公差數(shù)列
∴

1

Sn-1

=-1-n
∴S_n=

n

n+1

∴a_n=S_n-S_n-1=

1

n(n+1)

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)．主要考查了等差數(shù)列的判定和求和問(wèn)題．