Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-|x|+2a-1（a為實(shí)常數(shù)）．
（1）若a=1，作函數(shù)f（x）的圖象；
（2）設(shè)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值為g（a），求g（a）的表達(dá)式；
（3）設(shè)，若函數(shù)h（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x²-|x|+1=，由此作出函數(shù)的圖象．
（2）當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x）=ax²-x+2a-1，分a=0、a＜0、、、這幾種情況，結(jié)合函數(shù)
的圖象，利用函數(shù)的單調(diào)性，求出g（a）的解析式．
（3）根據(jù)h（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，h（x₂）-h（x₁）＞0，可得ax₁x₂＞2a-1，分a=0、a＞0、a＜0分別求得實(shí)數(shù)a的取值范圍，再取并集即得所求．
解答：解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x²-|x|+1=．
作圖（如圖所示）（4分）
（2）當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f（x）=ax²-x+2a-1．
若a=0，則f（x）=-x-1在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，g（a）=f（2）=-3．（5分）
若a≠0，則，f（x）圖象的對(duì)稱軸是直線．
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，g（a）=f（2）=6a-3．（6分）
當(dāng)，即時(shí)，f（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，
g（a）=f（1）=3a-2．（7分）
當(dāng)，即時(shí)，，（8分）
當(dāng)，即時(shí)，f（x）在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，g（a）=f（2）=6a-3．（9分）

綜上可得．（10分）
（3）當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，，在區(qū)間[1，2]上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
則=．（12分）
因?yàn)閔（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，所以h（x₂）-h（x₁）＞0，
因?yàn)閤₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，所以ax₁x₂-（2a-1）＞0，即ax₁x₂＞2a-1，
當(dāng)a=0時(shí)，上面的不等式變?yōu)?＞-1，即a=0時(shí)結(jié)論成立．（14分）
當(dāng)a＞0時(shí)，，由1＜x₁x₂＜4得，，解得0＜a≤1，（16分）
當(dāng)a＜0時(shí)，，由1＜x₁x₂＜4得，，解得，（17分）
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．（18分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查帶有絕對(duì)值的函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，注意分類討論的層次，這是解題的難點(diǎn)，屬于中檔題．