Question

已知F₁、F₂是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）若橢圓C的離心率為

3

3

，且

PF1

•

PF2

的最大值為8，求橢圓C的方程；
（2）若△F₁PF₂為等腰直角三角形，求橢圓C的離心率．

Answer 1

分析：（1）設(shè)橢圓C上的點(diǎn)P坐標(biāo)為（x₀，y₀），可得

PF1

•

PF2

=x02+y02-c²，根據(jù)P是橢圓C上的點(diǎn)，滿足y02=b²（1-

x02

a2

），且-a＜x₀＜a，所以

PF1

•

PF2

=（1-

b2

a2

）x02+b²-c²≤b²，當(dāng)且僅當(dāng)x02=a²時(shí)，

PF1

•

PF2

的最大值為b²=8，根據(jù)橢圓的離心率為

3

3

，可算出a²=12，從而得到橢圓C的方程；
（2）根據(jù)△F₁PF₂為等腰三角形，可得點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)時(shí)，P是短軸頂點(diǎn)；P是銳角頂點(diǎn)時(shí)，長(zhǎng)軸是焦距的1+

2

倍．由此計(jì)算可得橢圓C的離心率．

解答：解：（1）設(shè)橢圓C上的點(diǎn)P坐標(biāo)為（x₀，y₀），可得

PF1

=（-c-x₀，-y₀），

PF2

=（c-x₀，-y₀），
∴

PF1

•

PF2

=（-c-x₀）（c-x₀）+y02=x02+y02-c²
∵P是橢圓C上的點(diǎn)，滿足y02=b²（1-

x02

a2

），且-a＜x₀＜a
∴

PF1

•

PF2

=（1-

b2

a2

）x02+b²-c²≤（1-

b2

a2

）•a²+b²-c²=b²
所以，當(dāng)且僅當(dāng)x02=a²時(shí)，

PF1

•

PF2

的最大值為b²=8，可得b=2

2

∵橢圓的離心率為

3

3

，∴

c

a

=

3

3

，可得a=

3

c，b=

2

c
∴c=2，a=2

3

，橢圓C的方程是

x2

12

+

y2

8

=1
（2）∵△F₁PF₂為等腰直角三角形，
∴①點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)時(shí)，P必定是短軸頂點(diǎn)，
OP=

1

2

F₁F₂=c，即b=c，

a2-c2

=c，可得a²=2c²，即a=

2

c
∴橢圓C的離心率e=

c

a

=

2

2

②當(dāng)某焦點(diǎn)是直角頂點(diǎn)時(shí)，
2a=PF₁+PF₂=（1+

2

）F₁F₂=（1+

2

）×2c
∴橢圓C的離心率e=

c

a

=

2c

2a

=

1

1+ 2

=

2

-1
綜上所述，該橢圓的離心率e=

2

-1或

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題已知橢圓上一點(diǎn)P滿足數(shù)量積

PF1

•

PF2

的最大值為8，且離心率已知的情況下求橢圓的方程，著重考查了平面向量的數(shù)量積和橢圓的基本概念等知識(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．