Question

14．已知${（\sqrt{x}-\frac{2}{x^2}）^n}$（n∈N^*）的展開式中第五項的系數(shù)與第三項的系數(shù)的比是10：1．
（1）求在展開式中含x${\;}^{\frac{3}{2}}$的項；
（2）求展開式中系數(shù)最大的項．

Answer 1

分析 （1）由條件利用二項式展開式的通項公式求得n=8，可得展開式中含x${\;}^{\frac{3}{2}}$的項為T₂=-16•x${\;}^{\frac{3}{2}}$．
（2）根據(jù)第r+1項的系數(shù)為${C}_{n}^{r}$•（-2）^r=${C}_{8}^{r}$•（-2）^r，可得當(dāng)r=6時，系數(shù)最大，從而得出結(jié)論．

解答 解：（1）已知${（\sqrt{x}-\frac{2}{x^2}）^n}$（n∈N^*）的展開式的通項公式為 T_r+1=${C}_{n}^{r}$•（-2）^r•${x}^{\frac{n-5r}{2}}$，
再根據(jù)展開式中第五項的系數(shù)與第三項的系數(shù)的比是$\frac{{C}_{n}^{4}{•（-2）}^{4}}{{C}_{n}^{2}{•（-2）}^{2}}$=10：1，求得n=8，
令$\frac{8-5r}{2}$=$\frac{3}{2}$，求得r=1，可得展開式中含x${\;}^{\frac{3}{2}}$的項為T₂=-16•x${\;}^{\frac{3}{2}}$．
（2）由于第r+1項的系數(shù)為${C}_{n}^{r}$•（-2）^r=${C}_{8}^{r}$•（-2）^r，故r應(yīng)為偶數(shù)，
利用二項式系數(shù)的性質(zhì)，經(jīng)檢驗可得當(dāng)r=6時，系數(shù)最大，
即第七項的系數(shù)最大為 T₇=${C}_{8}^{6}$•（-2）⁶=1792•x^-12．

點評 本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項式系數(shù)的性質(zhì)，二項式展開式的通項公式，屬于基礎(chǔ)題．