【題目】如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，，平面平面，為等邊三角形，為的中點(diǎn).

（1）求證：平面平面；

（2）若是的中點(diǎn)，求證：平面，并求四面體的體積.

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）先證明平面，再利用面面垂直的判定定理即可證明平面平面；（2）連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)，則先證明即可證明平面，四面體的體積要通過等積法轉(zhuǎn)化求得，即，而四面體的底面積，高為容易求得.

（1）證明：因?yàn)?/span>為等邊邊的中點(diǎn)，所以，

又因?yàn)樵诹庑?/span>中，，所以為等邊三角形，

又為的中點(diǎn)，所以.而，所以平面，

又平面，所以平面平面.

（2）連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)，如圖所示.

因?yàn)榈酌?/span>為菱形，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，所以，

又平面，所以平面.

故點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，即.

由（1）知，平面平面，所以底面，

因?yàn)榈冗?/span>的邊長為2，所以.

又因?yàn)?/span>為中點(diǎn)，所以點(diǎn)到底面的距離為，

易知為邊長為2的等邊三角形，所以三棱錐的體積為：

.

故所求四面體的體積為.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過點(diǎn)，其傾斜角為，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸為非負(fù)半軸為極軸，與坐標(biāo)系取相同的長度單位，建立極坐標(biāo)系.設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程為.

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【題目】如圖，在梯形中，，，，四邊形為矩形，平面平面，.

(1)證明：平面；

(2)設(shè)點(diǎn)在線段上運(yùn)動，平面與平面所成銳二面角為，求的取值范圍.

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