Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²（x∈R）的圖象過點P（-1，2），且在P處的切線恰好與直線x-3y=0垂直．
（Ⅰ）求f（x）得解析式；
（Ⅱ）若g（x）=af（x）-3x在（-1，0）上是減函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）本題的解析式中有兩個參數(shù)，故需要兩個方程，由圖象過定點P可以得到一個方程，另一個由點P處的切線與直線x-3y=0垂直可以得到切線的斜率，得到另一個方程，由此兩方程聯(lián)立即可得到兩個參數(shù)的值．
（Ⅱ）求解本題中的參數(shù)取值范圍需要先求出g（x）的解析式，然后求出其導(dǎo)數(shù)，由于函數(shù)在（-1，0）上是減函數(shù)，故在這個區(qū)間上導(dǎo)數(shù)值應(yīng)小于等于0，由此關(guān)系得到參數(shù)a的不等式，解之即得．

解答：解：（1）∵f′（x）=3ax²+2bx，
∴由題設(shè)有

f(-1)=-a+b=2 f′(-1)=3a-2b=-3

∴

a=1 b=3

∴f（x）=x³+3x²．（4分）
（2）由題意g（x）=ax³+3ax²-3x，g′（x）=3ax²+6ax-3，
又由已知得g′（x）=3ax²+6ax-3≤0在（-1，0）上恒成立，
可得a≥

1

x2+2x

得在（-1，0）上恒成立，
由于

1

x2+2x

＜-1
∴a≥-1
即符合條件的參數(shù)a的取值范圍是a≥-1（12分）

點評：本題的考點是函數(shù)的解析式求解方法及函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是一個重要的方法，導(dǎo)數(shù)的引入給函數(shù)單調(diào)性的研究帶來了極大的便利，學(xué)習(xí)時要注意導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的使用方法及規(guī)律．