Question

【題目】如圖△ABC中，AC=BC= AB，四邊形ABED是邊長為a的正方形，平面ABED⊥平面ABC，若G、F分別是EC、BD的中點．

（1）求證：GF∥平面ABC；
（2）求證：平面EBC⊥平面ACD；
（3）求幾何體ADEBC的體積V．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，取BE的中點H，連接HF，GH．

∵G，F分別是EC和BD的中點，

∴HG∥BC，HF∥DE．

又∵四邊形ADEB為正方形，

∴DE∥AB，從而HF∥AB．

∴HF∥平面ABC，HG∥平面ABC．

∴平面HGF∥平面ABC．

∴GF∥平面ABC

（2）證明：∵ADEB為正方形，∴EB⊥AB．

又∵平面ABED⊥平面ABC，

∴BE⊥平面ABC．

∴BE⊥AC．

又∵CA2+CB2=AB2，∴AC⊥BC．

∴AC⊥平面BCE．

從而平面EBC⊥平面ACD

（3）解：取AB的中點N，連接CN，∵AC=BC，

∴CN⊥AB，且CN= AB= a．

又平面ABED⊥平面ABC，

∴CN⊥平面ABED．

∵C﹣ABED是四棱錐，

∴VC﹣ABED= SABEDCN= a2 a= a3．

【解析】（1）取BE的中點H，連接HF，GH．通過證明GF所在的平面HGF，平面HGF∥平面ABC．然后說明GF∥平面ABC；（2）通過證明AC⊥平面BCE，AC平面ACD，然后證明平面EBC⊥平面ACD；（3）取AB的中點N，連接CN，說明CN⊥平面ABED，求出底面面積，即可求解幾何體ADEBC的體積V．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定的相關知識點，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直才能正確解答此題．