Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）= ﹣k（ +lnx）（k為常數(shù)，e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）當(dāng)k≤0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在（0，2）內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解： f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），

∴f′（x）= ﹣k（ ﹣ ）

= （x＞0），

當(dāng)k≤0時(shí)，kx≤0，

∴ex﹣kx＞0，

令f′（x）=0，則x=2，

∴當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；

當(dāng)x＞2時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，

∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，2），單調(diào)遞增區(qū)間為（2，+∞）．

（2）解：由（1）知，k≤0時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，2）內(nèi)單調(diào)遞減，

故f（x）在（0，2）內(nèi)不存在極值點(diǎn)；

當(dāng)k＞0時(shí)，設(shè)函數(shù)g（x）=ex﹣kx，x∈（0，+∞）．

∵g′（x）=ex﹣k=ex﹣elnk，

當(dāng)0＜k≤1時(shí)，

當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，g′（x）=ex﹣k＞0，y=g（x）單調(diào)遞增，

故f（x）在（0，2）內(nèi)不存在兩個(gè)極值點(diǎn)；

當(dāng)k＞1時(shí)，

得x∈（0，lnk）時(shí)，g′（x）＜0，函數(shù)y=g（x）單調(diào)遞減，

x∈（lnk，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，函數(shù)y=g（x）單調(diào)遞增，

∴函數(shù)y=g（x）的最小值為g（lnk）=k（1﹣lnk）

函數(shù)f（x）在（0，2）內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)

當(dāng)且僅當(dāng)

解得：e

綜上所述，

函數(shù)f（x）在（0，2）內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，k的取值范圍為（e， ）

【解析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）函數(shù)f（x）在（0，2）內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于它的導(dǎo)函數(shù)f′（x）在（0，2）內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減)，還要掌握函數(shù)的極值(極值反映的是函數(shù)在某一點(diǎn)附近的大小情況)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．