Question

設(shè)f（x）=ax+b，且

∫

1 -1

[f（x）]²dx=1，求f（a）的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：定積分

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：先根據(jù)定積分求出a與b的關(guān)系，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)值得值域．

解答： 解：∵f（x）=ax+b，且

∫

1 -1

[f（x）]²dx=1，
∴

∫

1 -1

（a²x²+2abx+b²）dx=（

1

3

a²x³+abx²+b²x）|

1 -1

=（

1

3

a²+ab+b²）-（-

1

3

a²+ab-b²）=

2

3

a²+2b²=1，
∴a²=

3

2

-3b²，且

3

2

-3b²≥0，即-

2

2

≤b≤

2

2

，
∴f（a）=a²+b=

3

2

-3b²+b=-3（b-

1

2

）²+

9

4

，
∴函數(shù)f（b）在[-

2

2

，

1

2

）上單調(diào)遞增，在[

1

2

，

2

2

]上單調(diào)遞減，
∴f（b）的最大值為f（

1

2

）=

9

4

，f（b）的最小值為f（-

2

2

）=-

2

2

，
∴f（a）的取值范圍為[-

2

2

，

9

4

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了定積分的計(jì)算以及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．