Question

如圖，△OAB是邊長為2的正三角形，記△OAB位于直線x=t（t＞0）左側(cè)的圖形的面積為f（t）．
（1）求函數(shù)f（t）解析式；
（2）畫出函數(shù)y=f（t）的圖象；
（3）當(dāng)函數(shù)g（t）=f（t）-at有且只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，求a的值．

Answer 1

分析：（1）利用分段函數(shù)，求函數(shù)f（t）的解析式．
（2）利用（1）的解析式作出函數(shù)的圖象．（3）求出g（t）=f（t）-at的表達(dá)式，利用g（t）=f（t）-at有且只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，求a的值．

解答：解：（1）當(dāng)0＜t≤1時(shí)，f(t)=

3

2

t²       （1分）
當(dāng)1＜t≤2時(shí)，f(t)=

3

-

3

2

(2-t)2    （2分）
當(dāng)t＞2時(shí)，f(t)=

3

                  （3分）
所以f(t)=

3 2 t2，0＜t≤1 3 - 3 2 (2-t)2，1＜t≤2 3 ，t＞2

     （4分）
（2）畫圖象（4分），如圖：（其中圖形（3分），規(guī)范1分）
（3）當(dāng)0＜t≤1時(shí)，g(t)=

3

2

t2-at，由g(t)=

3

2

t2-at=0，解得t=

2a

3

因?yàn)?＜t≤1，所以0＜

2a

3

≤1，即0＜a≤

3

2

                           （9分）
當(dāng)a=

3

2

時(shí)，直線y=at過點(diǎn)(1，

3

2

)，(2，

3

)，這兩點(diǎn)都在f（t）的圖象上
當(dāng)0＜a＜

3

2

時(shí)，直線y=at與射線y=

3

有一個(gè)交點(diǎn)     （10分）
當(dāng)1＜t≤2時(shí)，直線y=a（a＞

3

2

）逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)與f（t）圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，相切時(shí)有一個(gè)交點(diǎn)，且與射線y=

3

無交點(diǎn)．（11分）
此時(shí)

3

-

3

2

(2-t)2-at=0，所以 t2-(4-

2 3

3

a)t+2=0，
所以△=(4-

2 3

3

a)2-8=0，解得a=2

3

-

6

或a=2

3

+

6

．（12分）
當(dāng)a=2

3

-

6

時(shí)，t2-2

2

t+2=0，所以t=

2

在（1，2]內(nèi)．
當(dāng)a=2

3

+

6

．時(shí)t=-

2

不在（1，2]內(nèi)，（13分）
當(dāng)a≤0或a＞2

3

-

6

時(shí)，直線y=at與f（t）的圖象無交點(diǎn)
所以a=2

3

-

6

．（14分）

點(diǎn)評：本題主要考查了分段函數(shù)的求法以及函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．