在直角三角形ABC中,∠ACB=30°,∠B=90°,D為AC的中點(diǎn),E為BD的中點(diǎn),AE的延長線交BC于點(diǎn)F(如圖1). 將△ABD沿BD折起,二面角A-BD-C的大小記為θ(如圖2).
(Ⅰ)求證:面AEF⊥面BCD;面AEF⊥面BAD;
(Ⅱ)當(dāng)cosθ為何值時,AB⊥CD;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,求FB與平面BAD所成角的正弦值.
分析:(Ⅰ)可以先證明△ABD為等邊三角形,從而可得BD⊥AE,BD⊥EF,根據(jù)線面垂直的判定可得BD⊥面AEF,進(jìn)而根據(jù)面面垂直的判定可得面AEF⊥面BCD.同理面AEF⊥面BAD
(Ⅱ)由(Ⅰ)的證明可得∠AEF為二面角A-BD-C的平面角.過A作AO⊥面BCD,垂足為O.由于面AEF⊥面BCD,所以O(shè)在FE上,連BO交CD延長線于M,從而當(dāng)AB⊥CD時,由三垂線定理的逆定理得BM⊥CM,由此可求得cosθ的值;
(Ⅲ)過F作FG⊥AE交AE的延長線于G點(diǎn),由(Ⅰ)面AEF⊥面BAD,則FG⊥面BAD,故∠FBG就是FA與平面BAD所成角,在三角形FBG中,可求∠FBG的正弦值.
解答:證明:(Ⅰ)在△ABC中,由∠ACB=30°,得AB=
1
2
AC

由D為AC的中點(diǎn),得BD=
1
2
AC
.∴△ABD為等邊三角形
則BD⊥AE,BD⊥EF,
∴BD⊥面AEF,
又∵BD?面BCD,∴面AEF⊥面BCD.
同理面AEF⊥面BAD…
(Ⅱ)由(Ⅰ)的證明可得∠AEF為二面角A-BD-C的平面角.過A作AO⊥面BCD,垂足為O.
∵面AEF⊥面BCD,∴O在FE上,連BO交CD延長線于M,
當(dāng)AB⊥CD時,由三垂線定理的逆定理得BM⊥CM,
∴O為翻折前的等邊三角形△ABD的中心.
OE=
1
3
AE
,cosθ=-
1
3

因此當(dāng)cosθ=-
1
3
時,AB⊥CD.…(7分)
(Ⅲ)過F作FG⊥AE交AE的延長線于G點(diǎn),由(Ⅰ)面AEF⊥面BAD,則FG⊥面BAD
故∠FBG就是FA與平面BAD所成角
設(shè)AB=a,則AE=
3
2
a,EF=
3
a
6
,F(xiàn)B=
3
a
3
;
cosθ=-
1
3
⇒sin∠FEG=
2
2
3

GF=
3
a
6
×
2
2
3
=
6
9
a

所以sin∠FBG=
GF
FB
=
2
3

即FB與平面BAD所成角的正弦值為
2
3
…(12分)
點(diǎn)評:本題以平面圖形為載體,考查圖形的翻折,關(guān)鍵是搞清翻折前后有關(guān)元素的變與不變,考查面面角,考查線面角,關(guān)鍵是正確作出相應(yīng)的角.
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1
|AD|2
=
1
|AB|2
+
1
|AC|2
”等,由此聯(lián)想,在三棱錐O-ABC中,若三條側(cè)棱OA,OB,OC兩兩互相垂直,可以推出哪些結(jié)論?至少寫出兩個結(jié)論.
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i
j
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AB
=
i
+3
j
,
AC
=2
i
+k
j
,則“k=1”是“∠C=
π
2
”的( 。

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