Question

12．已知函數(shù)f（x）=lnx-（x-1）（a為常數(shù)）．
（1）求函數(shù)f（x）的極值；
（2）試證明：對任意的n∈N^*，都有l(wèi)n（1+$\frac{1}{n}$）$＜\frac{1}{n}$．

Answer 1

分析 （1）先確定函數(shù)f（x）的定義域，再求導(dǎo)f′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性與極值；
（2）由（1）知當(dāng)x∈（1，2]時，f（x）＜f（1）=0，即lnx＜x-1，再令x=1+$\frac{1}{n}$即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=lnx-（x-1）的定義域?yàn)椋?，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$-1=$\frac{1-x}{x}$，
故當(dāng)x∈（0，1）時，f′（x）＞0；
當(dāng)x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0；
故f（x）在x=1處有極大值f（1）=0-（1-1）=0；
（2）證明：由（1）知，
當(dāng)x∈（1，2]時，f（x）＜f（1）=0，
即lnx＜x-1，
令x=1+$\frac{1}{n}$，則
ln（1+$\frac{1}{n}$）＜1+$\frac{1}{n}$-1，
即ln（1+$\frac{1}{n}$）＜$\frac{1}{n}$，
故對任意的n∈N^*，都有l(wèi)n（1+$\frac{1}{n}$）$＜\frac{1}{n}$．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，同時考查了換元法的應(yīng)用．