【題目】已知函數, .
(Ⅰ)若函數為定義域上的單調函數,求實數的取值范圍;
(Ⅱ)若函數存在兩個極值點, ,且,證明: .
【答案】(1).(2)詳見解析.
【解析】試題分析:(Ⅰ)首先求得函數的定義域與導函數,然后結合判別式判斷導函數的符號,得到函數的單調性,從而求得的取值范圍;(Ⅱ)首先將問題轉化為有兩個不等的實根, ,由此得到的范圍,從而得到, 的范圍,然后根據的表達式構造新函數,由此通過求導研究新函數的單調性使問題得證.
試題解析:(Ⅰ)函數的定義域為,
由題意,
.
①若,即,則恒成立,
則在上為單調減函數;
②若,即,方程的兩根為, ,當時, ,所以函數單調遞減,當時, ,所以函數單調遞增,不符合題意.
綜上,若函數為定義域上的單調函數,則實數的取值范圍為.
(Ⅱ)因為函數有兩個極值點,所以在上有兩個不等的實根,
即在有兩個不等的實根, ,
于是, 且滿足, ,
,
同理可得.
,
令, .
, ,
∵,∴,
又時, ,∴,則在上單調遞增,
所以,即,得證.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知函數f(x)=2x+2ax+b , 且f(1)= 、f(2)= .
(1)求a、b的值;
(2)判斷f(x)的奇偶性并證明;
(3)先判斷并證明函數f(x)在[0,+∞)上的單調性,然后求f(x)的值域.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某校選擇高一年級三個班進行為期二年的教學改革試驗,為此需要為這三個班各購買某種設備1臺.經市場調研,該種設備有甲乙兩型產品,甲型價格是3000元/臺,乙型價格是2000元/臺,這兩型產品使用壽命都至少是一年,甲型產品使用壽命低于2年的概率是,乙型產品使用壽命低于2年的概率是.若某班設備在試驗期內使用壽命到期,則需要再購買乙型產品更換.
(1)若該校購買甲型2臺,乙型1臺,求試驗期內購買該種設備總費用恰好是10000元的概率;
(2)該校有購買該種設備的兩種方案, 方案:購買甲型3臺; 方案:購買甲型2臺乙型1臺.若根據2年試驗期內購買該設備總費用的期望值決定選擇哪種方案,你認為該校應該選擇哪種方案?
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某種產品的以往各年的宣傳費用支出(萬元)與銷售量(萬件)之間有如下對應數據
2 | 4 | 5 | 6 | 8 | |
4 | 3 | 6 | 7 | 8 |
(1)試求回歸直線方程;
(2)設該產品的單件售價與單件生產成本的差為(元),若與銷售量(萬件)的函數關系是,試估計宣傳費用支出為多少萬元時,銷售該產品的利潤最大?(注:銷售利潤=銷售額-生產成本-宣傳費用)
(參考數據與公式: , , )
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】人耳的聽力情況可以用電子測聽器檢測,正常人聽力的等級為0-25(分貝),并規(guī)定測試值在區(qū)間為非常優(yōu)秀,測試值在區(qū)間為優(yōu)秀.某班50名同學都進行了聽力測試,所得測試值制成頻率分布直方圖:
(Ⅰ)現從聽力等級為的同學中任意抽取出4人,記聽力非常優(yōu)秀的同學人數為,求的分布列與數學期望;
(Ⅱ)在(Ⅰ)中抽出的4人中任選一人參加一個更高級別的聽力測試,測試規(guī)則如下:四個音叉的發(fā)生情況不同,由強到弱的次序分別為1,2,3,4.測試前將音叉隨機排列,被測試的同學依次聽完后給四個音叉按發(fā)音的強弱標出一組序號, , , (其中, , , 為1,2,3,4的一個排列).若為兩次排序偏離程度的一種描述, ,求的概率.
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