Question

（2007•武漢模擬）正四棱錐S-ABCD內(nèi)接于一個(gè)半徑為R的球，那么這個(gè)正四棱錐體積的最大值為

64

81

R³

．

Answer 1

分析：先設(shè)正四棱錐S-ABCD的底面邊長(zhǎng)等于a，底面到球心的距離等于x，得到x與a，R之間的關(guān)系，又正四棱錐的高為h=R+x
從而得出正四棱錐體積關(guān)于x函數(shù)表達(dá)式，最后利用基本不等式求出這個(gè)正四棱錐體積的最大值即可．

解答：解：設(shè)正四棱錐S-ABCD的底面邊長(zhǎng)等于a，底面到球心的距離等于x
則：x2+(

2

2

a) 2=R 2
而正四棱錐的高為h=R+x
故正四棱錐體積為：
V（x）=

1

3

×a2h=

1

3

×a2(R+x)=

2

3

(R 2-x 2)(R+x)
其中x∈（0，R）
∵

2

3

(R 2-x 2)(R+x) =

1

3

(2R-2x)(R+x)(R+x)≤

1

3

×(

(2R-2x)+(R+x)+(R+x)

3

)  3=

64

81

R³
當(dāng)且僅當(dāng)x=

1

3

R時(shí)，等號(hào)成立
那么這個(gè)正四棱錐體積的最大值為：

64

81

R³
故答案為：

64

81

R³

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了球內(nèi)接多面體、棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積等基本知識(shí)，考查了空間想象力，屬于中檔題．