Question

（2007•武漢模擬）如圖，直線l：y=

4

3

（x-2）和雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1 （a＞0，b＞0）交于A、B兩點，|AB|=

12

11

，又l關于直線l₁：y=

b

a

x對稱的直線l₂與x軸平行．
（1）求雙曲線C的離心率；（2）求雙曲線C的方程．

Answer 1

分析：（1）先設雙曲線一、三象限漸近線l₁：

x

a

-

y

b

=0 的傾 斜角為α，根據(jù)l和l₂關于直線l₁對稱，又AB：y=

4

3

（x-2），得出tan2α=

4

3

  利用二倍角公式求得tanα，從而建立關于a，c的相等關系，最后求得雙曲線C的離心率；
（2）設所求雙曲線的方程，將直線的方程代入雙曲線的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數(shù)的關系利用弦長公式即可求得k值，從而解決問題．

解答：解：（1）設雙曲線一、三象限漸近線l₁：

x

a

-

y

b

=0 的傾 斜角為α
∵l和l₂關于直線l₁對稱，記它們的交點為P．而l₂與x軸平行，
記l₂與y軸交點為Q 依題意有∠QPO=∠POM=∠OPM=α（銳角）又AB：y=

4

3

（x-2），
故tan2α=

4

3

  則 

2tanα

1-tan 2α

=

4

3

，求得tanα=

1

2

，tanα=-2（舍）
∴

b

a

=

1

2

，e²=

c 2

a 2

=1+（

b

a

）²=

5

4

，因此雙曲線C的離心率 

5

2

．
（2）∵

b

a

=

1

2

，故設所求雙曲線方程 

x 2

4k 2

-

x 2

k 2

=1 
將 y=

4

3

（x-2），代入 x²-4y²=4k²，
消去y得：

55

36

x²-

64

9

x+

64

9

+k²=0  設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
|AB|=

1+k 2

|x₁-x₂|=

1+k 2

•

(x 1+x 2) 2-4x 1x 2

=

12

11

，
化簡得到：

4 64-55k 2

11

=

12

11

，求得k²=1．
故所求雙曲線C的方程為：

x 2

4

-y²=1

點評：本小題主要考查雙曲線的標準方程、雙曲線的簡單性質(zhì)等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結合思想、方程思想．屬于基礎題．