Question

已知函數f（x）滿足f（x）+1=

1

f(x+1)

，當x∈[0，1]時，f（x）=x，若在區(qū)間（-1，1]內，函數g（x）=f（x）-log_m（x+2）有兩個零點，則實數m的取值范圍是（　�。�

• A、（0，

  1

  3

  ）
• B、（0，

  1

  3

  ]
• C、[3，+∞）
• D、（1，3]

Answer 1

考點：函數的零點與方程根的關系

專題：函數的性質及應用

分析：把函數的零點轉化為兩函數圖象的交點，求出函數f（x）的解析式，利用數形結合即可得到結論．

解答： 解：∵f（x）+1=

1

f(x+1)

，當x∈[0，1]時，f（x）=x，
∴x∈（-1，0）時，x+1∈（0，1），
則f（x）+1=

1

f(x+1)

=

1

x+1

，
∴f（x）═

1

x+1

-1，
若函數g（x）=f（x）-log_m（x+2）有兩個零點，
則由g（x）=f（x）-log_m（x+2）=0
得f（x）=log_m（x+2）有兩個根，
即y=f（x）與y=g（x）=log_m（x+2）的圖象有兩個交點，
函數圖象如圖，
當0＜m＜1時，函數y=log_m（x+2）單調遞減，此時不滿足條件，
當m＞1時，函數y=log_m（x+2）單調遞增，若兩函數有兩個交點，
則滿足當x=1時，g（1）≤1，即log_m3≤1，解得m≥3，
故選：C

點評：本題考查了利用函數零點的存在性求變量的取值范圍，考查了函數零點與函數圖象與x軸的交點之間的關系，體現了數形結合的思想，和應用圖象解決問題的能力．