Question

《選修4-5：不等式選講》
設(shè)不等式|x-2|＞1的解集與關(guān)于x的不等式x²-ax+b＞0的解集相同．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函數(shù)的最大值，以及取得最大值時(shí)x的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵|x-2|＞1，
∴x＞3或x＜1．
∴不等式|x-2|＞1的解集為{x|x＞3或x＜1}；
∵不等式|x-2|＞1的解集與關(guān)于x的不等式x²-ax+b＞0的解集相同，
∴1和3是方程x²-ax+b=0的根，
∴a=1+3=4，b=1×3=3．
（Ⅱ）∵f（x）=4+3（3≤x≤5），
∴f′（x）=-=，
由f′（x）=0得x=．
由f′（x）＞0得，3≤x＜，
由f′（x）＜0得，＜x≤5．
∴f（x）在[3，）上單調(diào)遞增，在（，5]上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=時(shí)，f（x）取得最大值，
即f（x）_max=f（）=4+3=5．
分析：（Ⅰ）依題意，通過解絕對(duì)值不等式|x-2|＞1可求其解集，從而可知x²-ax+b=0的解，由韋達(dá)定理可求得a，b的值；
（Ⅱ）通過導(dǎo)數(shù)法可求得f（x）=4+3的最大值，以及取得最大值時(shí)x的值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法，利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值是難點(diǎn)，也是關(guān)鍵，考查分析、運(yùn)算的能力，屬于難題．