（2013•泰州三模）選修4-5：不等式選講
已知a＞0，b＞0，n∈N*．求證：
an+1+bn+1
an+bn
≥
ab
．
分析：先用分析法證明
an+1+bn+1
an+bn
≥
a+b
2
，再利用基本不等式，即可證得
an+1+bn+1
an+bn
≥
ab
成立．
解答：證明：先證
an+1+bn+1
an+bn
≥
a+b
2
，
只要證 2（an+1+bn+1）≥（a+b）（an+bn），
即要證 an+1+bn+1-anb-abn≥0，
即要證 （a-b）（an-bn）≥0，…（5分）
若 a≥b，則a-b≥0，an-bn≥0，所以，（a-b）（an-bn）≥0．
若a＜b，則a-b＜0，an-bn＜0，所以（a-b）（an-bn）＞0，
綜上，可得 （a-b）（an-bn）≥0，從而
an+1+bn+1
an+bn
≥
a+b
2
．…（8分）
因?yàn)?
a+b
2
 ≥
ab
，所以
an+1+bn+1
an+bn
≥
ab
．                   …（10分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查用分析法證明不等式，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

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（2013•泰州三模）選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣M=
x5
66
不存在逆矩陣，求實(shí)數(shù)x的值及矩陣M的特征值．

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（2013•泰州三模）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（0，1），B（0，-1），C（t，0），D(
3t
，0)，其中t≠0．設(shè)直線AC與BD的交點(diǎn)為P，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程（以t為參數(shù)）及普通方程．

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（2013•泰州三模）設(shè)n∈N*且n≥2，證明：(a1+a2+…+an)2=a12+a22+…+an2+2[a1（a2+a3+…+an）+a2（a3+a4+…+an）+…+an-1an]．

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（2013•泰州三模）如圖是某游戲中使用的材質(zhì)均勻的圓形轉(zhuǎn)盤，其中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ部分的面積各占轉(zhuǎn)盤面積的
1
12
，
1
6
，
1
4
，
1
2
．游戲規(guī)則如下：
①當(dāng)指針指到Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ部分時(shí)，分別獲得積分100分，40分，10分，0分；
②（�。┤魠⒓釉撚螒蜣D(zhuǎn)一次轉(zhuǎn)盤獲得的積分不是40分，則按①獲得相應(yīng)的積分，游戲結(jié)束；
（ⅱ）若參加該游戲轉(zhuǎn)一次獲得的積分是40分，則用拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣的方法來決定是否繼續(xù)游戲．正面向上時(shí)，游戲結(jié)束；反面向上時(shí)，再轉(zhuǎn)一次轉(zhuǎn)盤，若再轉(zhuǎn)一次的積分不高于40分，則最終積分為0分，否則最終積分為100分，游戲結(jié)束．
設(shè)某人參加該游戲一次所獲積分為ξ．
（1）求ξ=0的概率；
（2）求ξ的概率分布及數(shù)學(xué)期望．

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