Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=2，且點(diǎn)P（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直線2x-y=0上．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=

n

an

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件得a_n+1=2a_n，a₁=2，由此能求出an=2•2n-1=2n．
（Ⅱ）由bn=n•(

1

2

)n，利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）∵數(shù)列{a_n}中，a₁=2，且點(diǎn)P（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直線2x-y=0上，
∴a_n+1=2a_n，a₁=2，…（2分）
∴{a_n}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，
∴an=2•2n-1=2n．…（5分）
（Ⅱ）∵an=2n，b_n=

n

an

，∴bn=n•(

1

2

)n…（6分）
∴Tn=1×(

1

2

)+2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+…+n×(

1

2

)n，①…（7分）
①×

1

2

：

1

2

Tn=

&1×( 1 2 )

2+2×(

1

2

)3+…+(n-1)×(

1

2

)n+n×(

1

2

)n+1，②…（8分）
①-②：

1

2

Tn=

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-n×(

1

2

)n+1
=

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-n×(

1

2

)n+1…（10分）
∴Tn=2-(n+2)•(

1

2

)n．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．