Question

已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）有最小正周期2，且當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）=

2x

4x+1

．
（1）求f（1）和f（-1）的值；
（2）求f（x）在[-1，1]上的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)的周期性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由已知中在R上的奇函數(shù)f（x）有最小正周期2，可得f（1）=f（1-2）=f（-1）=-f（1），進(jìn)而求出f（1）和f（-1）的值；
（2）當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，-x∈（0，1）．由f（x）是奇函數(shù)，可得f（x）=-f（-x）=-

2-x

4-x+1

=-

2x

4x+1

，結(jié)合已知及（1）中結(jié)論，可得答案．

解答： 解：（1）∵f（x）是周期為2的奇函數(shù)，
∴f（1）=f（1-2）=f（-1）=-f（1），
∴f（1）=0，f（-1）=0．…（4分）
（2）由題意知，f（0）=0．
當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，-x∈（0，1）．
由f（x）是奇函數(shù)，
∴f（x）=-f（-x）=-

2-x

4-x+1

=-

2x

4x+1

，
綜上，f（x）=

2x 4x+1 ，x∈(0，1) - 2x 4x+1 ，x∈(-1，0) 0，x∈{-1，0，1}

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，函數(shù)的周期性，函數(shù)求值及函數(shù)解析式的求法，是函數(shù)的簡(jiǎn)單綜合應(yīng)用，難度中檔．