Question

已知a=

∫

π 2 0

cosxdx，二項式（2x²+

a

x

）ⁿ的展開式的各項系數(shù)和為243
（Ⅰ）求該二項展開式的二項式系數(shù)和；
（Ⅱ）求該二項展開式中x⁴項的系數(shù)．

Answer 1

考點：二項式系數(shù)的性質(zhì)

專題：二項式定理

分析：（Ⅰ）求定積分可得a=1，二項式(2x2+

a

x

)n，即(2x2+

1

x

)n，令x=1可得它的展開式的各項系數(shù)和為243=3ⁿ，求得n的值，可得該二項展開式的二項式系數(shù)和2ⁿ的值．
（Ⅱ）先求出二項式展開式的通項公式，再令x的冪指數(shù)等于4，求得r的值，即可求得展開式中的x⁴項的系數(shù)．

解答： 解：（Ⅰ）因為 a=

∫

π 2 0

cosxdx=sinx

|

π 2 0

=sin

π

2

-sin0=1，
∴二項式(2x2+

a

x

)n，即(2x2+

1

x

)n，令x=1可得它的展開式的各項系數(shù)和為243，
故有3ⁿ=243=3⁵，∴n=5，該二項展開式的二項式系數(shù)和2⁵=32．
（Ⅱ）(2x2+

1

x

)5的展開式的通項是Tr+1=

C

r 5

(2x2)5-r(

1

x

)r=

C

r 5

25-rx10-3r(r=0，1，2，3，4，5)．
根據(jù)題意，得10-3r=4，求得r=2，
因此，該二項展開式中x⁴項的系數(shù)是

C

2 5

25-2=80．

點評：本題主要考查求定積分，二項式系數(shù)的性質(zhì)，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，注意各項系數(shù)和與各項的二項式系數(shù)和的區(qū)別，屬于基礎(chǔ)題．