Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

1-a

2

x2+ax-lnx（a∈R）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）當(dāng)a≥2時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）可得函數(shù)定義域，解出f'（x）=0，得x=1．然后考慮在1左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號(hào)，由極值定義可求；
（2）化簡可得f′（x）=

(1-a)(x- 1 a-1 )(x-1)

x

，按照兩根

1

a-1

與1的大小關(guān)系討論，在定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；

解答：解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），
當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=x-lnx， f′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

．
令f'（x）=0，得x=1．
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f'（x）＜0；當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＞0，
∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（x）_極小值=f（1）=1，無極大值．
（2）f′(x)=(1-a)x+a-

1

x

=

(1-a)x2+ax-1

x

=

[(1-a)x+1](x-1)

x

=

(1-a)(x- 1 a-1 )(x-1)

x

，
當(dāng)

1

a-1

=1，即a=2時(shí)，f′(x)=-

(x-1)2

x

≤0， f(x)在(0，+∞)上是減函數(shù)；
當(dāng)

1

a-1

＜1，即a＞2時(shí)，令f'（x）＜0，得0＜x＜

1

a-1

或x＞1，令f'（x）＞0，得

1

a-1

＜x＜1，
當(dāng)

1

a-1

＞1，a＜2時(shí)與已知矛盾，舍，
綜上，當(dāng)a=2時(shí)，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減；當(dāng)a＞2時(shí)，f(x)在(0，

1

a-1

)和(1，+∞)上單調(diào)遞減，在(

1

a-1

，1)上單調(diào)遞增；

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、單調(diào)性，考查分類討論思想，導(dǎo)數(shù)是解決函數(shù)的有力工具，應(yīng)重點(diǎn)掌握．