Question

13．已知函數(shù)f（x）=1nx-tx．
（1）若f（x）在（2，+∞）為增函數(shù)，求t的取值范圍；
（2）討論函數(shù)f（x）的零點的個教．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為t＞$\frac{1}{x}$在x∈（2，+∞）上恒成立，解出即可；
（2）作函數(shù)g（x）=lnx與函數(shù)h（x）=tx的圖象，從而求導(dǎo)，從而求解．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=lnx-tx的定義域為（0，+∞）．
∵f（x）在（2，+∞）上為增函數(shù)，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-t＞0在x∈（2，+∞）上恒成立，
即t＜$\frac{1}{x}$在x∈（2，+∞）上恒成立，
∵0＜$\frac{1}{x}$＜$\frac{1}{2}$，∴t≤，
∴t的取值范圍為（-∞，0]；
（2）令f（x）=1nx-tx=0，
得：lnx=tx，
令g（x）=lnx，h（x）=tx，
討論函數(shù)f（x）的零點的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為討論g（x）和h（x）的交點問題，
直線h（x）與g（x）=lnx相切，設(shè)切點為（x，lnx），
g′（x）=$\frac{1}{x}$，則$\frac{1}{x}$=$\frac{lnx}{x}$，
故x=e；
故k_l=$\frac{1}{e}$，
故0＜t＜$\frac{1}{e}$時，圖象有2個交點，即函數(shù)f（x）有2個零點，
t=$\frac{1}{e}$或t≤0時，圖象有1個交點，即函數(shù)f（x）有1個零點，
t＞$\frac{1}{e}$時，圖象沒有交點，即函數(shù)f（x）沒有零點．

點評 本題考查了學(xué)生的作圖能力與應(yīng)用圖象的能力，同時考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用．