【題目】已知函數(shù)f（x）=xlnx+1.

（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）求函數(shù)f（x）的在區(qū)間[t，t+1]（t>0）的最小值.

【答案】（1）f（x）的遞減區(qū)間為（0，），遞增區(qū)間（，+∞）；（2）當t∈（0，]時，f（x）的最小值為1，當t∈（，+∞）時， f（x）的最小值為tlnt+1.

【解析】

（1）求出導函數(shù)，分別解導函數(shù)大于零和小于零不等式得解；

（2）結(jié)合（1）已得單調(diào)性，分類討論求最值.

（1）f（x）=xlnx+1， =lnx+1=lnx﹣ln，x>0，

由得，由得

當x∈（0，）時，f（x）遞減；

當x∈（，+∞）時，f（x）遞增；

故f（x）的遞減區(qū)間為（0，），遞增區(qū)間（，+∞）；

（2）由（1）知，當x∈（0，）時，f（x）遞減；當x∈（，+∞）時，f（x）遞增；

f（x）的最小值為f（）=1，

當t∈（0，]時，t+1∈[1，1]時，f（x）在間[t，t+1]（t>0）的最小值為f（）=1，

當t∈（，+∞）時，t+1∈（1，+∞），f（x）在間[t，t+1]遞增，f（x）的最小值為f（t）=tlnt+1.

綜上所述：當t∈（0，]時，f（x）的最小值為1，當t∈（，+∞）時， f（x）的最小值為tlnt+1.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】

如圖，已知橢圓的離心率為，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點為頂點的三角形的周長為.一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線和與橢圓的交點分別為和.

（Ⅰ）求橢圓和雙曲線的標準方程；

（Ⅱ）設直線、的斜率分別為、，證明；

（Ⅲ）是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù).

(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；

(2)若當時恒成立，求的取值范圍．

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【題目】將函數(shù)f（x）＝cos（2x）的圖象向左平移個單位長度后，得到函數(shù)g（x）的圖象，則下列結(jié)論中正確的是_____．（填所有正確結(jié)論的序號）

①g（x）的最小正周期為4π；

②g（x）在區(qū)間[0，]上單調(diào)遞減；

③g（x）圖象的一條對稱軸為x；

④g（x）圖象的一個對稱中心為（，0）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知四棱錐A-BCDE，其中AC=BC=2，AC⊥BC，CD//BE且CD=2BE，CD⊥平面ABC，F為AD的中點.

（1）求證:EF//平面ABC；

（2）設M是AB的中點，若DM與平面ABC所成角的正切值為，求平面ACD與平面ADE夾角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，一樓房高為米，某廣告公司在樓頂安裝一塊寬為米的廣告牌，為拉桿，廣告牌的傾角為，安裝過程中，一身高為米的監(jiān)理人員站在樓前觀察該廣傳牌的安裝效果：為保證安全，該監(jiān)理人員不得站在廣告牌的正下方：設米，該監(jiān)理人員觀察廣告牌的視角.

（1）試將表示為的函數(shù)；

（2）求點的位置，使取得最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設直線l的方程為（a﹣1）x+y+a+3=0，（a∈R）．

（1）若直線l在兩坐標軸上截距的絕對值相等，求直線l的方程；

（2）若直線l不經(jīng)過第一象限，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系xOy內(nèi)，點（）在橢圓E：（a＞0，b＞0），橢圓E的離心率為，直線l過左焦點F且與橢圓E交于A、B兩點

（1）求橢圓E的標準方程；

（2）若動直線l與x軸不重合，在x軸上是否存在定點P，使得PF始終平分∠APB？若存在，請求出點P的坐標：若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D為PB中點，PC＝3PE.

（1）求證：平面ADE⊥平面PBC；

（2）在AC上是否存在一點M，使得MB∥平面ADE？若存在，請確定點M的位置，并說明理由.

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