Question

9．如圖，已知在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁=2，∠ACB=$\frac{π}{3}$，點D是線段BC的中點．
（Ⅰ）求證：A₁C∥平面AB₁D；
（Ⅱ）當三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積最大時，求直線A₁D與平面AB₁D所成角θ的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）要證A₁C∥平面AB₁D，可利用線面平行的判定，記A₁B∩AB₁=O，由點D是線段BC的中點，可得A₁C∥OD，然后由線面平行的判定定理得答案；
（Ⅱ）法一、由題意可得當三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面積最大時，體積最大，進一步可得此時三角形ABC為正三角形，然后利用等積法求出點A₁到平面AB₁D的距離d，由sinθ=$\fracck6bx16{D{A}_{1}}$得答案．
法二、以D為原點，直線DA，DC分別為x，y軸建立空間坐標系，求出平面AB₁D的一個法向量，進一步求出|cos＜$\overrightarrow{D{A}_{1}}，\overrightarrow{n}$＞|得到直線A₁D與平面AB₁D所成角θ的正弦值．

解答 （Ⅰ）證明：記A₁B∩AB₁=O，OD為三角形A₁BC的中位線，
∵A₁C∥OD，OD?平面A₁BD，A₁C?平面AB₁D
∴A₁C∥平面AB₁D；
（Ⅱ）解：法一、當三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面積最大時，體積最大，
$4=A{B}^{2}=A{C}^{2}+B{C}^{2}-2•AC•BC•cos\frac{π}{3}$≥2AC•BC-AC•BC=AC•BC，
當AC=BC，即三角形ABC為正三角形時取最大值．
設點A₁到平面AB₁D的距離為d，由${V}_{{A}_{1}-A{B}_{1}D}={V}_{C-A{B}_{1}D}={V}_{{B}_{1}-ACD}$，得
$\frac{1}{3}{S}_{△A{B}_{1}D}•d=\frac{1}{6}AD•D{B}_{1}•d=\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴$d=\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
則sinθ=$\fraculokpby{{A}_{1}D}=\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{\sqrt{7}}=\frac{2\sqrt{35}}{35}$．
法二、如圖，
以D為原點，直線DA，DC分別為x，y軸建立空間坐標系，
則A（$\sqrt{3}，0，0$），B（0，-1，0），B₁（0，-1，2），${A}_{1}（\sqrt{3}，0，2）$．
設面AB₁D的法向量為$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DA}=\sqrt{3}x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{B}_{1}}=-y+2z=0}\end{array}\right.$，
設y=2，則z=1，∴$\overrightarrow{n}=（0，2，1）$，
又$\overrightarrow{D{A}_{1}}=（\sqrt{3}，0，2）$，
∴sinθ=|cos＜$\overrightarrow{D{A}_{1}}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{D{A}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{D{A}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2\sqrt{35}}{35}$．

點評 本題考查直線與平面平行的判定，考查直線與平面所成的角，訓練了利用向量法求線面角，考查學生的空間想象能力和運算能力，是中檔題．