Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，D，E分別是AB，BB₁的中點(diǎn)，AA₁=AC=CB=4，AB=4

2

（Ⅰ）證明：BC₁∥平面A₁CD；
（Ⅱ） 過(guò)點(diǎn)E作一個(gè)平面α，使得α∥平面A₁CD，求α與直棱柱ABC-A₁B₁C₁的截面面積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連接AC₁，交A₁C于點(diǎn)F，利用三角形的中位線證明BC₁∥DF，即可證明BC₁∥平面A₁CD；
（2）先把平面α做出來(lái)，再求其面積即可．

解答： （1）證明：連接AC₁，交A₁C于點(diǎn)F，
則F為AC₁中點(diǎn)，
又D是AB中點(diǎn)，連接DF，則BC₁∥DF．
因?yàn)镈F?平面A₁CD，BC₁?平面AC₁D，
所以BC₁∥平面A₁CD．…（6分）
（2）分別去BD、BC的中點(diǎn)為M、N，
連接MN，EM，EN，
則MN∥DC，EN∥A₁D，
∴平面MNE∥平面A₁CD，及α為平面MNE，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC，D，E分別是AB，BB₁的中點(diǎn)，AA₁=AC=CB=4，AB=4

2

，
可得：MN=EN=

2

，ME=

6

，
可求得：S_△MNE=

3

2

．
故α與直棱柱ABC-A₁B₁C₁的截面面積為

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線面平行的判定和性質(zhì)以及截面的性質(zhì)和面積的求法．