Question

如圖，在四棱錐A-BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=

2

．
（Ⅰ）證明：AC⊥平面BCDE；
（Ⅱ）求直線AE與平面ABC所成的角的正切值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角,立體幾何

分析：（Ⅰ）如圖所示，取DC的中點F，連接BF，可得DF=

1

2

DC=1=BE，于是四邊形BEDF是矩形，在Rt△BCF中，利用勾股定理可得BC=

BF2+CF2

=

2

．在△ACB中，再利用勾股定理的逆定理可得AC⊥BC，再利用面面垂直的性質(zhì)定理即可得出結(jié)論．
（Ⅱ）過點E作EM⊥CB交CB的延長線于點M，連接AM．由平面ABC⊥平面BCDE，利用面面垂直的性質(zhì)定理可得：EM⊥平面ACB．因此∠EAM是直線AE與平面ABC所成的角．再利用勾股定理和直角三角形的邊角關(guān)系即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）如圖所示，取DC的中點F，連接BF，則DF=

1

2

DC=1=BE，
∵∠CDE=∠BED=90°，∴BE∥DF，
∴四邊形BEDF是矩形，
∴BF⊥DC，BF=ED=1，
在Rt△BCF中，BC=

BF2+CF2

=

12+12

=

2

．
在△ACB中，∵AB=2，BC=AC=

2

，
∴BC²+AC²=AB²，
∴AC⊥BC，
又平面ABC⊥平面BCDE，∴AC⊥平面BCDE．
（Ⅱ）過點E作EM⊥CB交CB的延長線于點M，連接AM．
又平面ABC⊥平面BCDE，∴EM⊥平面ACB．
∴∠EAM是直線AE與平面ABC所成的角．
在Rt△BEM中，EB=1，∠EBM=45°．
∴EM=

2

2

=MB．
在Rt△ACM中，AM=

CM2+AC2

=

( 2 + 2 2 )2+( 2 )2

=

26

2

．
在Rt△AEM中，tan∠EAM=

EM

AM

=

2 2

26 2

=

13

13

．

點評：本題綜合考查了矩形的判定定理及其性質(zhì)定理、勾股定理及其逆定理、面面垂直的性質(zhì)定理、線面角的求法、直角三角形的邊角關(guān)系等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力、輔助線的作法，屬于難題．