Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）與拋物線y²=2px（p＞0）有一個(gè)共同的焦點(diǎn)F，點(diǎn)M是雙曲線與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)，若|MF|=

5

4

p，則此雙曲線的離心率等于（　�。�

• A、2
• B、3
• C、

  2

• D、

  3

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：利用雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）與拋物線y²=2px（p＞0）有一個(gè)共同的焦點(diǎn)F，可得c=

p

2

，由點(diǎn)M為這兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)，且|MF|=

5

4

p，確定M的坐標(biāo)，代入雙曲線方程，即可求出雙曲線的離心率．

解答： 解：拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F（

p

2

，0）．
∵雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）與拋物線y²=2px（p＞0）有一個(gè)共同的焦點(diǎn)F，
∴c=

p

2

．
∵點(diǎn)M為這兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)，且|MF|=

5

4

p，
∴M的橫坐標(biāo)為

3

4

p，
代入拋物線方程，可得M的縱坐標(biāo)為±

6

2

p，
將M的坐標(biāo)代入雙曲線方程，可得

9 16 p2

a2

-

3 2 p2

b2

=1
∴e=2
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的離心率，考查拋物線方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．