Question

【題目】設(shè)是實(shí)數(shù)，函數(shù)．

（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）設(shè)定義在上的函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，當(dāng)時(shí)，若在內(nèi)恒成立，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“平衡點(diǎn)”．當(dāng)時(shí)，試問函數(shù)是否存在“平衡點(diǎn)”？若存在，請求出“平衡點(diǎn)”的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（Ⅱ）不存在.

【解析】

（Ⅰ）求導(dǎo)，得到，討論的范圍得到答案.

（Ⅱ）求得切線方程為，令

，計(jì)算得到當(dāng)時(shí)，，故沒有平衡點(diǎn)。

（I）,

當(dāng)時(shí)，在上恒成立；

當(dāng)時(shí)，在時(shí)，，在時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為

當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間為，增區(qū)間為.

（II）設(shè)為函數(shù)圖象上一點(diǎn)

則函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為

即,

令－

則

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

即函數(shù) 在上減函數(shù)，在上為增函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，,

因此，函數(shù) 在上不存在“平衡點(diǎn)”.