Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=sin2x+acosx+x在點x= 處取得極值．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）當(dāng)x∈[﹣ ， ]時，求函數(shù)f（x）的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=sin2x+acosx+x，

f′（x）=2cos2x﹣asinx+1，

f′（ ）=2cos ﹣asin +1=0，

解得：a=4

（2）解：由（1）得：f（x）=sin2x+4cosx+x，

f′（x）=2cos2x﹣4sinx+1=2﹣4sin2x﹣4sinx+1=﹣（2sinx+1）2+4，

令f′（x）＞0，解得：﹣ ＜x＜ 或 ＜x＜ ，

令f′（x）＜0，解得： ＜x＜ ，

∴f（x）在[﹣ ， ）遞增，在（ ， ）遞減，在（ ， ）遞增，

∴f（x）的最大值是f（ ）或f（ ），

而f（ ）= ﹣2+ ＜f（ ）= + ，

故f（x）的最大值是f（ ）= +

【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（ ）=0，求出a的值即可；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值即可．
【考點精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)，需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．