Question

【題目】已知拋物線C：y2＝2x，過(guò)點(diǎn)(2,0)的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，圓M是以線段AB為直徑的圓．

(1)證明：坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上；

(2)設(shè)圓M過(guò)點(diǎn)P(4，－2)，求直線l與圓M的方程．

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】（1）證明略；（2）直線的方程為，圓的方程為.或直線的方程為，圓的方程為

試題分析：（1）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與拋物線的方程，由斜率之積為可得，即得結(jié)論；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論求得實(shí)數(shù)的值，分類討論即可求得直線的方程和圓的方程.

試題解析：（1）設(shè)，.

由 可得，則.

又，故.

因此的斜率與的斜率之積為，所以.

故坐標(biāo)原點(diǎn)在圓上.

（2）由（1）可得.

故圓心的坐標(biāo)為，圓的半徑.

由于圓過(guò)點(diǎn)，因此，故，

即，

由（1）可得.

所以，解得或.

當(dāng)時(shí)，直線的方程為，圓心的坐標(biāo)為，圓的半徑為，圓的方程為.

當(dāng)時(shí)，直線的方程為，圓心的坐標(biāo)為，圓的半徑為，圓 的方程為.

【名師點(diǎn)睛】直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；在解決直線與拋物線的位置關(guān)系時(shí)，要特別注意直線與拋物線的對(duì)稱軸平行的特殊情況.中點(diǎn)弦問(wèn)題，可以利用“點(diǎn)差法”，但不要忘記驗(yàn)證或說(shuō)明中點(diǎn)在曲線內(nèi)部.

【題型】解答題
【結(jié)束】
21

【題目】已知函數(shù)．

（1）若，求a的值；

（2）設(shè)m為整數(shù)，且對(duì)于任意正整數(shù)n，，求m的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】試題分析：（1）由原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系可得x=a是在的唯一最小值點(diǎn)，列方程解得；

（2）由題意結(jié)合（1）的結(jié)論對(duì)不等式進(jìn)行放縮，求得，結(jié)合可知實(shí)數(shù)的最小值為.

試題解析：（1）的定義域?yàn)?/span>.

①若，因?yàn)?/span>，所以不滿足題意；

②若，由知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故x=a是在的唯一最小值點(diǎn).

由于，所以當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)，.故a=1.

（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，.

令得.從而

.

故.

而，所以的最小值為.