【題目】已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，為該橢圓的一條垂直于軸的動(dòng)弦，直線與軸交于點(diǎn)，直線與直線的交點(diǎn)為.

（1）證明：點(diǎn)恒在橢圓上.

（2）設(shè)直線與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)，使得恒成立？若存在，求出該點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）存在，

【解析】

（1）根據(jù)題意求得的坐標(biāo)，設(shè)出的坐標(biāo)，求得直線的方程，由此求得的坐標(biāo)，代入橢圓方程的左邊，化簡(jiǎn)后得到，由此判斷出恒在橢圓上.

（2）首先判斷直線的斜率是否存在.然后當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)出直線的方程，判斷出的位置并設(shè)出的坐標(biāo).聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，化簡(jiǎn)后利用判別式等于零求得的關(guān)系式，進(jìn)而求得的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)坐標(biāo)以及，利用列方程，結(jié)合等式恒成立求得的坐標(biāo).

（1）證明：由題意知，設(shè)，則.

直線的方程為，直線的方程為，

聯(lián)立可得，，即的坐標(biāo)為.

因?yàn)?/span>，

所以點(diǎn)恒在橢圓上.

（2）解：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，不符合題意.不妨設(shè)直線的方程為，由對(duì)稱(chēng)性可知，若平面內(nèi)存在定點(diǎn)，使得恒成立，則一定在軸上，故設(shè)，

由可得.

因?yàn)橹本�與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，

所以，

所以.

又因?yàn)?/span>，所以，

即.

所以對(duì)于任意的滿(mǎn)足的恒成立，

所以解得.

故在平面內(nèi)存在定點(diǎn)，使得恒成立.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某單位N名員工參加“社區(qū)低碳你我他”活動(dòng)．他們的年齡在25歲至50歲之間．按年齡分組：第1組[25,30)，第2組[30,35)，第3組[35,40)，第4組[40,45)，第5組[45,50]，得到的頻率分布直方圖如圖所示．下表是年齡的頻率分布表.

區(qū)間

[25,30)

[30,35)

[35,40)

[40,45)

[45,50]

人數(shù)

25

a

b

(1)求正整數(shù)a，b，N的值；

(2)現(xiàn)要從年齡較小的第1,2,3組中用分層抽樣的方法抽取6人，則年齡在第1,2,3組的人數(shù)分別是

多少？

(3)在(2)的條件下，從這6人中隨機(jī)抽取2人參加社區(qū)宣傳交流活動(dòng)，求恰有1人在第3組的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)F作直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B分別作拋物線C的切線，兩條切線交于點(diǎn)P.

（1）若P的坐標(biāo)為，求直線的斜率；

（2）若P始終不在橢圓的內(nèi)部（不包括邊界），求外接圓面積的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】上世紀(jì)末河南出土的以鶴的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（圖1），充分展示了我國(guó)古代高超的音律藝術(shù)及先進(jìn)的數(shù)學(xué)水平，也印證了我國(guó)古代音律與歷法的密切聯(lián)系.圖2為骨笛測(cè)量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意圖，圖3是某骨笛的部分測(cè)量數(shù)據(jù)（骨笛的彎曲忽略不計(jì)），夏至（或冬至）日光（當(dāng)日正午太陽(yáng)光線）與春秋分日光（當(dāng)日正午太陽(yáng)光線）的夾角等于黃赤交角.

由歷法理論知，黃赤交角近1萬(wàn)年持續(xù)減小，其正切值及對(duì)應(yīng)的年代如下表：

黃赤交角

正切值

0.439

0.444

0.450

0.455

0.461

年代

公元元年

公元前2000年

公元前4000年

公元前6000年

公元前8000年

根據(jù)以上信息，通過(guò)計(jì)算黃赤交角，可估計(jì)該骨笛的大致年代是( )

A.公元前2000年到公元元年B.公元前4000年到公元前2000年

C.公元前6000年到公元前4000年D.早于公元前6000年

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在三棱錐D-ABC中，，且，，M，N分別是棱BC，CD的中點(diǎn)，下面結(jié)論正確的是（ ）

A.B.平面ABD

C.三棱錐A-CMN的體積的最大值為D.AD與BC一定不垂直

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，是邊長(zhǎng)為4的正方形，平面，分別為的中點(diǎn).

（1）證明：平面.

（2）若，求二面角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某省從2021年開(kāi)始將全面推行新高考制度，新高考“”中的“2”要求考生從政治、化學(xué)、生物、地理四門(mén)中選兩科，按照等級(jí)賦分計(jì)入高考成績(jī)，等級(jí)賦分規(guī)則如下：從2021年夏季高考開(kāi)始，高考政治、化學(xué)、生物、地理四門(mén)等級(jí)考試科目的考生原始成績(jī)從高到低劃分為五個(gè)等級(jí)，確定各等級(jí)人數(shù)所占比例分別為，，，，，等級(jí)考試科目成績(jī)計(jì)入考生總成績(jī)時(shí)，將至等級(jí)內(nèi)的考生原始成績(jī)，依照等比例轉(zhuǎn)換法分別轉(zhuǎn)換到、、、、五個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級(jí)分，等級(jí)轉(zhuǎn)換分滿(mǎn)分為100分.具體轉(zhuǎn)換分?jǐn)?shù)區(qū)間如下表：

等級(jí)

比例

賦分區(qū)間

而等比例轉(zhuǎn)換法是通過(guò)公式計(jì)算：

其中，分別表示原始分區(qū)間的最低分和最高分，、分別表示等級(jí)分區(qū)間的最低分和最高分，表示原始分，表示轉(zhuǎn)換分，當(dāng)原始分為，時(shí)，等級(jí)分分別為、

假設(shè)小南的化學(xué)考試成績(jī)信息如下表：

考生科目

考試成績(jī)

成績(jī)等級(jí)

原始分區(qū)間

等級(jí)分區(qū)間

化學(xué)

75分

等級(jí)

設(shè)小南轉(zhuǎn)換后的等級(jí)成績(jī)?yōu)?/span>，根據(jù)公式得：，

所以（四舍五入取整），小南最終化學(xué)成績(jī)?yōu)?7分.

已知某年級(jí)學(xué)生有100人選了化學(xué)，以半期考試成績(jī)?yōu)樵汲煽?jī)轉(zhuǎn)換本年級(jí)的化學(xué)等級(jí)成績(jī)，其中化學(xué)成績(jī)獲得等級(jí)的學(xué)生原始成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下表：

成績(jī)

95

93

91

90

88

87

85

人數(shù)

1

2

3

2

3

2

2

（1）從化學(xué)成績(jī)獲得等級(jí)的學(xué)生中任取2名，求恰好有1名同學(xué)的等級(jí)成績(jī)不小于96分的概率；

（2）從化學(xué)成績(jī)獲得等級(jí)的學(xué)生中任取5名，設(shè)5名學(xué)生中等級(jí)成績(jī)不小于96分人數(shù)為，求的分布列和期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知四棱錐的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，且.若四棱錐P-ABCD的五個(gè)頂點(diǎn)在以4為半徑的同一球面上，當(dāng)PA最長(zhǎng)時(shí)，則______________；四棱錐P-ABCD的體積為______________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）求直線與曲線相切時(shí)，切點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍.

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