Question

【題目】在三棱錐D-ABC中，，且，，M，N分別是棱BC，CD的中點，下面結論正確的是（ ）

A.B.平面ABD

C.三棱錐A-CMN的體積的最大值為D.AD與BC一定不垂直

Answer 1

【答案】ABD

【解析】

根據(jù)題意畫出三棱錐D-ABC，取中點，連接：對于A，根據(jù)等腰三角形性質及線面垂直判定定理可證明平面，從而即可判斷A；對于B，由中位線定理及線面平行判定定理即可證明；對于C，當平面平面時，三棱錐A-CMN的體積最大，由線段關系及三棱錐體積公式即可求解；對于D，假設，通過線面垂直判定定理可得矛盾，從而說明假設不成立，即可說明原命題成立即可.

根據(jù)題意，畫出三棱錐D-ABC如下圖所示，取中點，連接：

對于A，因為，且，，

所以為等腰直角三角形，

則且，

則平面，

所以，即A正確；

對于B，因為M，N分別是棱BC，CD的中點，

由中位線定理可得，而平面，平面，

所以平面，即B正確；

對于C，當平面平面時，三棱錐A-CMN的體積最大，

則最大值為，即C錯誤；

對于D，假設，由,且,

所以平面，則，

又因為，且，

所以平面，由平面，則，

由題意可知，因而不能成立，因而假設錯誤，所以D正確；

綜上可知，正確的為ABD，

故選：ABD.