Question

已知函數(shù)f（x）=ag^x，g（x）=lnx-lna，其中a為常數(shù)，函數(shù)y=f（x）在其圖象和與坐標(biāo)軸的交點處的切線為l₁，函數(shù)y=g（x）在其圖象與坐標(biāo)軸的交點處的切線為l₂，l₁平行于l₂．
（1）求函數(shù)y=g（x）的解析式；
（2）若關(guān)于x的不等式

x-m

g(x)

＞

x

恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，分別求兩函數(shù)在與兩坐標(biāo)軸的交點處的切線斜率，令其相等解方程即可得a值
（2）不等式

x-m

g(x)

＞

x

恒成立，即當(dāng)x＞1時 m＜x-

x

lnx恒成立；當(dāng)0＜x＜1時得 m＞x-

x

lnx恒成立．構(gòu)造新函數(shù) φ(x)=x-

x

lnx，求其在[1，+∞）的最小值，在（0，1]上的最大值即可．

解答：解：（1）f′(x)=aex，g′(x)=

1

x

．
y=f（x）的圖象與坐標(biāo)軸交于點（0，a）；y=g（x）的圖象與坐標(biāo)軸交于點（a，0），
∴f′（0）=g′（a）．
∴a=

1

a

．
∵a＞0，∴a=1
∴g（x）=lnx．
（2）①當(dāng)x＞1時，由

x-m

lnx

＞

x

得 m＜x-

x

lnx恒成立．
令 φ(x)=x-

x

lnx，則 φ′(x)=

2 x -2-lnx

2 x

．
令 h(x)=2

x

-2-lnx，則 h′(x)=

1

x

(1-

1

x

)＞0，
∴h（x）在[1，+∞）上遞增．
∴?x＞1，h（x）＞h（1）=0．
∴φ′（x）＞0．
∴φ（x）在[1，+∞）上遞增．
∴m≤φ（1）=1．
②當(dāng)0＜x＜1時，由

x-m

lnx

＞

x

得 m＞x-

x

lnx即m＞φ（x）恒成立．
同①可得φ（x）在（0，1]上遞減．
∴m≥φ（1）=1．
綜合①②得m=1．

點評：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)恒成立問題等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．